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D’INTÉGRATION.

il en résultera le logarithme de $10000$ égal à $9,2103403851.$ En prenant le quart de ce logarithme, on aura, pour le module de nos tables vulgaires

$\operatorname {Log} .10=2,3025850963.$

La valeur rigoureuse étant

$\operatorname {Log} .10=2,3025850930\,;$

on voit que l’erreur est au-dessous de quatre unités décimales du neuvième ordre.

26. Exemple III On demande la longueur de tout arc dont on connaît la tangente ?

L’arc dont la tangente est $t$ est l’intégrale de ${\frac {\operatorname {d} x}{1+x^{2}}},$ prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=t.$ En se servant de la formule (II) les quantités qu’il faudra y substituer pour $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots \lambda ,\mu ,\nu$ seront des fractions ayant pour numérateur commun $144,$ et pour dénominateurs respectifs les nombres $144,$$144+t^{2},144+4t^{2},144+9t^{2},144+16t^{2},$ $144+100t^{2},144+121t^{2},$$144+144t^{2}\,;$ et l’arc cherché sera la valeur qui en résultera pour $A,$ multipliée par $t.$ L’exemple suivant nous fera juger du degré d’exactitude de ce procédé.

27. Exemple IV. On demande, suivant la formule précédente, la longueur de l’arc ${\tfrac {\varpi }{4}}$  ?

Les dénominateurs de nos quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots \lambda ,\mu ,\nu$ sont ici $144,145,148,153,160,169,180,193,208,225,244,265,288,$ ce qui donnera

${\begin{array}{llll}\alpha +\nu &={\frac {144}{144}}+{\frac {144}{288}}&={\frac {3}{2}}&=1,5000000000,\\\beta +\mu &={\frac {144}{145}}+{\frac {144}{265}}&={\frac {11808}{5.29.53}}&=1,5364996746,\\\gamma +\lambda &={\frac {144}{148}}+{\frac {144}{244}}&={\frac {3528}{37.61}}&=1,5631369074,\\\delta +\varkappa &={\frac {144}{153}}+{\frac {144}{225}}&={\frac {672}{17.25}}&=1,5811764706,\\\varepsilon +\iota &={\frac {144}{160}}+{\frac {144}{208}}&={\frac {207}{130}}&=1,5923076923,\\\end{array}}$