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D’INTÉGRATION.

longueur du quart de l’ellipse ; $\lambda$ sera un angle droit, et devra conséquemment devenir successivement $0^{\circ },15^{\circ },30^{\circ },45^{\circ },60^{\circ },75^{\circ },90^{\circ }.$ Or, on sait que

${\begin{array}{lll}\operatorname {Sin} .^{2}\ \ 0^{\circ }&=\operatorname {Cos} .^{2}90^{\circ }&=0,\\\operatorname {Cos} .^{2}\ 0^{\circ }&=\operatorname {Sin} .^{2}90^{\circ }&=1,\\\operatorname {Sin} .^{2}15^{\circ }&=\operatorname {Cos} .^{2}75^{\circ }&={\frac {2-{\sqrt {3}}}{4}},\\\operatorname {Cos} .^{2}15^{\circ }&=\operatorname {Sin} .^{2}75^{\circ }&={\frac {2+{\sqrt {3}}}{4}},\\\operatorname {Sin} .^{2}30^{\circ }&=\operatorname {Cos} .^{2}60^{\circ }&={\frac {1}{4}},\\\operatorname {Cos} .^{2}30^{\circ }&=\operatorname {Sin} .^{2}60^{\circ }&={\frac {1}{4}},\\\operatorname {Sin} .^{2}45^{\circ }&=\operatorname {Cos} .^{2}90^{\circ }&={\frac {1}{2}}.\\\end{array}}$

Il viendra donc, en posant pour abréger le quarré $a^{2}-b^{2}$ de l’excentricité $=c^{2},$

${\begin{aligned}\alpha &={\frac {b^{2}}{a}},\\\beta &={\frac {a^{2}b^{2}}{(a^{2}-{\frac {2-{\sqrt {3}}}{4}}c^{2})^{\frac {3}{2}}}},\\\gamma &={\frac {a^{2}b^{2}}{(a^{2}-{\frac {1}{4}}c^{2})^{\frac {3}{2}}}},\\\delta &={\frac {a^{2}b^{2}}{(a^{2}-{\frac {1}{4}}c^{2})^{\frac {3}{2}}}},\\\varepsilon &={\frac {a^{2}b^{2}}{(a^{2}-{\frac {3}{4}}c^{2})^{\frac {3}{2}}}},\\\zeta &={\frac {a^{2}b^{2}}{(a^{2}-{\frac {2+{\sqrt {3}}}{4}}c^{2})^{\frac {3}{2}}}},\\\eta &={\frac {a^{2}}{b}}.\\\end{aligned}}$

Ayant obtenu la valeur de $A,$ on la multipliera par ${\frac {\varpi }{2}}=1,5708,$ et l’on aura ainsi une valeur du quart d’ellipse qui, dans les cas ordinaires, ne sera pas fautive d’un cent-millième.