De là résulte un moyen facile d’obtenir l’axe radical de deux cercles d’une sphère, lorsque ces cercles ne se coupent pas. Il consiste à décrire d’abord un cercle qui coupe ces deux-là ; en conduisant deux grands cercles par leurs intersections avec lui, ces grands cercles se couperont en un point de l’axe radical cherché ; renouvelant donc l’opération pour un autre cercle différent du premier et coupant encore les deux autres, on obtiendra un second point de cet axe radical, et il ne sera plus question que de faire passer un grand cercle par ces deux points[1]. On peut donc aussi facilement obtenir le centre radical de trois cercles d’une sphère.
Tout ce que nous venons de dire, relativement à la sphère, étant
- ↑ On demandera peut-être comment on peut faire passer un arc de grand
cercle par deux points donnés sur une sphère ? il est aisé de voir que cette
question se réduit à déterminer l’un de ses pôles ; et il est tout aussi facile de
voir que ce pôle est à l’intersection de deux arcs décrits de ces deux points
comme pôles, et avec une ouverture de compas égale à l’hypothénuse d’un triangle-rectangle isocèle, dont les deux côtés de l’angle droit sont égaux au rayon de la sphère.
Mais, dira-t-on, ceci suppose que l’on connaît le rayon de la sphère ; et comment pourra-t-on le déterminer, Voici la méthode, très-simple, que Théodose indique pour cela, dans ses Sphériques ; elle porte avec elle sa démonstration :
Décrivez sur la sphère un cercle quelconque, en gardant en réserve l’ouverture de compas qui aura servi à le décrire. Marquez sur la circonférence de ce cercle trois points arbitraires, dont vous prendrez, avec le compas, les distances deux à deux. De ces trois distances faites, sur un plan, les trois côtés d’un triangle rectiligne, auquel ensuite vous circonscrirez un cercle, dont le rayon sera évidemment égal à celui du cercle tracé sur la sphère. Construisez ensuite un triangle-rectangle dont l’hypothénuse soit votre ouverture de compas, mise en réserve, et l’un des côtés de l’angle droit le rayon de votre cercle. Prolongez l’autre côté de l’angle droit, jusqu’à sa rencontre avec la perpendiculaire menée à l’hypothénuse du sommet opposé. Vous formerez ainsi un plus grand triangle-rectangle dont le premier fera partie, et dont l’hypothénuse sera le diamètre de la sphère.
On a lieu d’être surpris qu’un problème aussi majeur et d’une construction si facile ne soit traité dans aucun de nos livres élémentaires.
J. D. G.
