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CALCUL

${\begin{aligned}&5B_{5}=\operatorname {D} \phi b\left[-5c^{-6}.c_{4}+{\tfrac {5.6}{2}}.c^{-7}\left(2c_{1}c_{3}+c_{2}^{2}\right)-{\tfrac {5.6.7}{6}}.c^{-8}.3c_{1}^{2}c_{2}+{\tfrac {5.6.7.8}{24}}.c^{-9}.c_{1}^{4}\right]\\&+2{\tfrac {\operatorname {D} ^{2}\phi b}{2}}\left(-5c^{-6}.c_{2}+{\tfrac {5.6}{2}}.c^{-7}.2c_{1}c_{2}-{\tfrac {5.6.7}{2.3}}.c^{-8}.c_{1}^{3}\right)+3{\tfrac {\operatorname {D} ^{3}\phi b}{6}}\left(-5c^{-6}.c_{2}+{\tfrac {5.6}{2}}.c^{-7}.c_{1}^{2}c^{2}\right)\\&+4{\tfrac {\operatorname {D} ^{4}\phi b}{24}}\left(-5c^{-6}.c_{1}\right)+5.{\tfrac {\operatorname {D} ^{5}\phi b}{120}}c^{-5}\\\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Pour le développement de l’équation (39) ; comme on a, d’après le n.^o 5,

$\psi \phi (b+x)=\psi \left(\phi b+\operatorname {D} .\phi b.x+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi b.x^{2}+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}.\phi b.x^{3}+\ldots \right),$

la règle reste la même ; mais, au lieu de $\phi b,$ il faut écrire $\psi \phi b,$ $\operatorname {D} \phi b,$ au lieu de $b_{1},\ {\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi b,$ au lieu de $b_{2},\ {\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\phi b,$ au lieu de $b_{3},$ et ainsi de suite.

Pour le cas de l’équation (40), comme $\psi \operatorname {f} \alpha =\psi c,$ il faudrait, en conservant la même règle, mettre partout $\psi c$ à la place de $c,\ \operatorname {D} \psi c$ à la place de $c_{1},\ {\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\psi c$ à la place de $c_{2},\ {\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\psi c$ à la place de $c_{3},\ldots \,;$ en observant que ces dérivées doivent être elles-mêmes développées selon la règle du n.^o 8 ; que $\operatorname {D} .\psi c=\operatorname {D} \psi c.c_{1}=\operatorname {D} \psi \operatorname {f} \alpha .\operatorname {Df} \alpha ,\ldots ,$ et que, dans ces derniers développemens, il faut substituer $\operatorname {f} \alpha$ pour $c,$ $\operatorname {Df} \alpha$ pour $c_{1},$ ${\tfrac {1}{2}}\operatorname {D^{2}f} \alpha$ pour $c_{2},$ ${\tfrac {1}{6}}\operatorname {D^{3}f} \alpha$ pour $c_{3},\ldots .$

Pour le cas de l’équation (43), il faudrait tenir compte, à la fois, des deux observations précédentes, et écrire $\operatorname {F} \phi b$ pour $\phi b$ $\operatorname {D} \phi b$ pour $b_{1}$ et $\psi c$ pour $c$ $\operatorname {D} .\psi c$ pour $c_{1},\ldots .$

Mais, pour l’équation (42), la règle du n.^o précédent s’emploie sans la moindre restriction, parce que cette équation ne diffère de celle (37) que par le signe des exposans de $c$ ou $\operatorname {f} \alpha$ dont cette règle est indépendante.

Pour le développement de l’équation (45), il faudrait remplacer $c,c_{1},c_{2},\ldots ,$ par $\psi \beta ,\operatorname {D} .\psi \beta ,{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\psi \beta ,\ldots ,$ en observant que $\operatorname {D} \beta =c,$${\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\beta =c_{1},{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\beta =c_{2},\ldots ,$