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DES DÉRIVATIONS.

Enfin, pour le développement de l’équation (46), il faudrait tenir compte de l’observation précédente, et de plus mettre $\operatorname {F} \phi b$ pour $\phi b,\ \operatorname {D} \phi b$ pour $b_{1},\ {\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi b$ pour $b_{2},\ldots .$

Au moyen de ces observations, l’application de la règle du n.^o précédent est générale.

30. Remarque. En effectuant les dérivations de $\operatorname {D} \phi b,$ indiquées dans les équations (49), on obtient $\operatorname {D} ^{2}\phi b,{\frac {\operatorname {D} ^{3}\phi b}{2}},{\frac {\operatorname {D} ^{4}\phi b}{6}},\ldots \,:$ nous avons préféré, dans les équations (50) et (51), d’écrire, à la place de ces résultats, $2{\frac {\operatorname {D} ^{2}\phi b}{2}},3{\frac {\operatorname {D} ^{3}\phi b}{6}},4{\frac {\operatorname {D} ^{4}\phi b}{24}},\ldots$ parce que $\operatorname {D} \phi b,{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi b,{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\phi b,$${\tfrac {1}{24}}\operatorname {D} ^{4}\phi b,$$\ldots$ sont les coefficiens du développement de $\phi (b+x),$ et que, par ce moyen, les coefficiens numériques sont mis en évidence : ainsi, pour le problème du n.^o 22, on a $\operatorname {D} \phi b=A_{1},\operatorname {D} ^{2}\phi b=2A_{2},$${\frac {\operatorname {D} ^{3}\phi b}{2}}=3A_{3},{\frac {\operatorname {D} ^{4}\phi b}{6}}=4A_{4},\ldots .$

Nous avons déjà remarqué au n.^o 27 que, d’après les n.^os 18 et 22, $a_{1}$ devait être considéré comme premier terme de polynôme, et par conséquent comme indépendant de $a$ ; c’est pourquoi, dès le n.^o 23, nous avons remplacé partout cette lettre par $b,$ sous les signes de fonction, afin de ne pas induire en erreur, par une prétendue dépendance qui n’existait plus. Cette observation deviendra encore plus claire par la théorie de l’article suivant.

C’est pour la même raison, et pour conserver la régularité de la loi des développemens, que nous avons remplacé, au n.^o 27, le polynôme $a_{1}+a_{2}x+a_{3}x^{2}+\ldots$ par celui $c+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\ldots$ Si, au n.^o 18, nous avons préféré la première de ces deux formes, ce n’était que pour mieux faire apercevoir l’identité des développemens de $\phi \left(a+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots \right)$ et de $\phi \left\{a+x\left(a_{1}+a_{2}x+\ldots \right)\right\},$ et pour rendre plus palpable la dépendance mutuelle des coefficiens des développemens de $\phi (a+y)$ et de $\phi \left(a+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots \right)\,;$ dépendance qui nous a tant simplifié l’exposition de la théorie du retour des suites. On aura remarqué sans doute que la loi de cette dé-