THÉORÈME II. Si deux surfaces du second ordre sont tellement situées dans l’espace, que le centre de la seconde soit sur la première, tous les plans sécants à celle-ci qui passeront par les points où elle est traversée par les prolongemens de trois diamètres conjugués quelconques de l’autre, se couperont en un même point, situé sur le diamètre de la seconde surface dont les conjugués sont tangens à la première.
Démonstration. Soient la première surface, la seconde, et le centre de celle-ci, situé sur l’autre. Concevons, par ce centre, trois diamètres conjugués dont les directions rencontrent en Imaginons ensuite que l’on passe de ce système de diamètres conjugués à un autre, dans lequel les directions des diamètres rencontrent en c’est-à-dire, de manière que le diamètre dont la direction est soit commun aux deux systèmes. Il est connu que les deux angles seront dans un même plan.
Soient et les lignes du second ordre suivant lesquelles ce plan coupe les surfaces et Soit le plan tangent à en ; et soit enfin la droite suivant laquelle ce plan est coupé par le plan des angles ; cette droite sera tangente à en
Cela posé ; est une ligne du second ordre, située dans le même plan avec et ayant son centre sur son périmètre ; et aussi bien que sont les directions de deux diamètres conjugués de cette courbe ; d’où il suit (Théorème I) que les deux cordes se couperont en quelque point du diamètre de dont le conjugué est ; et que ce point, sera tout-à-fait fixe et indépendant de la situation du second système par rapport au premier.
Donc aussi les deux plans qui passent constamment par les deux points fixes se couperont constamment suivant une droite fixe comme ces deux points, et tout-à-fait indépendante de la situation respective des deux plans.
et sont donc deux conjugués de ; d’où il suit que, réciproquement, et sont deux conjugués de ; donc, par les théories connues, tous les autres conjugués de sont situés dans
