les milieux des côtés opposés, et son centre de gravité, seront les sommets d’un triangle semblable à dont les côtés, moitié des siens, leur seront respectivement parallèles. Il est de plus aisé de voir que sera le centre commun de gravité des aires de ces deux triangles, et conséquemment leur centre de similitude.
Soit un point situé d’une manière quelconque sur le plan du triangle et soit son homologue par rapport au triangle ces deux points devront être en ligne droite avec le centre de similitude et, comme on a on devra avoir également Enfin, les points et étant des points homologues ; et les deux triangles ayant leurs côtés parallèles, chacun à chacun, les droites doivent être respectivement parallèles aux droites ce qui complète la démonstration de notre théorème.
Remarque. Quoique nous ayons tacitement supposé, dans le raisonnement que nous venons de faire, que les points et étaient tous deux dans le plan du triangle ; il est aisé de voir que ce raisonnement n’en serait pas moins concluant, quand bien même ces points seraient situés hors de ce plan. Dans ce cas, ils se trouveraient situés de différens côtés du plan du triangle.
Si le point est le centre du cercle inscrit, le point deviendra le point d’intersection des perpendiculaires abaissées des sommets du triangle sur les directions des côtés opposés. On peut donc de notre théorème conclure comme corollaire la proposition suivante :
Corollaire, Dans tout triangle, les perpendiculaires abaissées des sommets sur les directions des côtés opposés se coupent toutes trois en un même point, situé en ligne droite avec le centre du cercle inscrit, et le centre de gravité de l’aire du triangle. Ce dernier point est au tiers de la droite qui joint les deux autres à partir du second.
