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QUESTIONS

Soient alors les équations des sommets $S,S',S''$ ainsi qu’il suit :

${\text{Pour S}}\left\{{\begin{aligned}&x=a,\\&y=b\,;\\\end{aligned}}\right.\quad {\text{Pour S'}}\left\{{\begin{aligned}&x=a',\\&y=b'\,;\\\end{aligned}}\right.\quad {\text{Pour S''}}\left\{{\begin{aligned}&x=a'',\\&y=b''\,;\\\end{aligned}}\right.$

En conséquence, les équations du point $\mathrm {M'',}$ intersection de $\mathrm {SA}$ et $\mathrm {S'B'}$ et du point $\mathrm {N'',}$ intersection de $\mathrm {SB}$ et $\mathrm {S'A',}$ seront

${\text{Pour M''}}\left\{{\begin{aligned}&x=a',\\&y=b\,;\\\end{aligned}}\right.\qquad {\text{Pour N''}}\left\{{\begin{aligned}&x=a,\\&y=b'\,;\\\end{aligned}}\right.$

l’équation de $\mathrm {M''N''}$ sera conséquemment

$y-b={\frac {b-b'}{a'-a}}(x-a')\,;$

ou encore

$(b-b')x+(a-a')y+(a'b'-ab)=0.$

Par une simple transposition d’accens, on trouvera, pour les équations

De $\mathrm {MN} \ ,\qquad (b'-b'')x+(a'-a'')y+(a''b''-a'b')=0,$

De $\mathrm {M'N'} ,\qquad (b''-b)x+(a''-a\ )y+(a\ b\ -a''b'')=0.$

Puisque l’origine est quelconque, on peut supposer qu’on l’a placée à l’intersection de ces deux dernières droites, ce qui revient à supposer qu’elles passent toutes deux par cette origine ; on doit avoir alors

$a''b''=a'b',\qquad ab=a''b''\,;$

et par conséquent

$a'b'=ab\,;$