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FORMULES D’INTÉGRATION.

ANALISE TRANSCENDANTE.

Sur la manière d’intégrer, par approximation, entre
deux limites données, toute fonction différentielle
d’une seule variable ;

Par M. Chrétien Kramp, professeur doyen de la faculté
des sciences de Strasbourg, chevalier de l’Ordre royal
de la légion d’honneur.

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I. Dans un premier mémoire (Annales, tom. VI, pag. 372-388), j’ai donné la solution du problème indéterminé d’intégrer numériquement, par approximation, une fonction différentielle quelconque d’une seule variable, entre des limites données. En prenant pour unité l’intervalle constant qui sépare les ordonnées extrêmes, en supposant que la première se confond avec l’axe des $y,$ et en les représentant consécutivement par $a,b,c,d,\ldots$ ; j’ai fait voir qu’on aura

${\begin{aligned}{\frac {\int y\operatorname {d} x-ax}{x^{2}}}&={\tfrac {1}{2}}\Delta a\\+&({\tfrac {x}{3}}-{\tfrac {1}{2}})\Delta ^{2}a\\+&({\tfrac {x^{2}}{4}}-{\tfrac {3x}{3}}+{\tfrac {2}{2}})\Delta ^{3}a\\+&({\tfrac {x^{3}}{5}}-{\tfrac {6x^{2}}{4}}+{\tfrac {4x}{3}}-{\tfrac {6}{2}})\Delta ^{4}a\\+&({\tfrac {x^{4}}{6}}-{\tfrac {10x^{3}}{5}}+{\tfrac {35x^{2}}{4}}-{\tfrac {10x}{3}}+{\tfrac {24}{2}})\Delta ^{5}a\\\end{aligned}}$