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FORMULES

${\begin{aligned}+&({\tfrac {x^{5}}{7}}-{\tfrac {15x^{4}}{6}}+{\tfrac {85x^{3}}{5}}-{\tfrac {225x^{2}}{4}}+{\tfrac {274x}{3}}-{\tfrac {120}{2}})\Delta ^{6}a\\+&({\tfrac {x^{6}}{8}}-{\tfrac {21x^{5}}{7}}+{\tfrac {175x^{4}}{6}}-{\tfrac {735x^{3}}{5}}+{\tfrac {1624x^{2}}{4}}-{\tfrac {1764x}{3}}+{\tfrac {720}{2}})\Delta ^{7}a\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}$

formule dans laquelle $\Delta a,\Delta ^{2}a,\Delta ^{3}a,\ldots$ sont données par les équations

${\begin{array}{rl}1\Delta a&=b-a,\\1.2\Delta ^{2}a&=c-2b+a,\\1.2.3\Delta ^{3}a&=d-3c+3b-a,\\1.2.3.4\Delta ^{4}a&=e-4d+6c-4b+a,\\\ldots \ldots &=\ldots \ldots \ldots \\\end{array}}$

2. Si l’on veut faire usage de ces formules, il faut d’abord s’entendre sur le diviseur général qu’on veut choisir. En supposant que ce diviseur doive être le membre entier $n,$ on mettra partout $x=n,$ et on arrêtera la série à $\Delta ^{n}a.$ Prenons pour exemple $n=7$ ; on aura

${\frac {\int y\operatorname {d} x-7x}{49}}={\tfrac {1}{2}}\Delta a+{\tfrac {11}{6}}\Delta ^{2}a+{\tfrac {25}{4}}\Delta ^{3}a+{\tfrac {533}{30}}\Delta ^{4}a+{\tfrac {153}{4}}\Delta ^{5}a$

$+{\tfrac {631}{22}}\Delta ^{6}a+{\tfrac {751}{24}}\Delta ^{7}a\,;$

ou bien, en substituant et chassant les dénominateurs,

${\begin{aligned}&120960{\frac {\int y\operatorname {d} x-7x}{49}}=\\&\ \ 60480(b-a)\\+&110880(c-2b+a)\\+&126000(d-3c+3b-a)\\+&\,\ 89554(e-4d+6c-4b+a)\\+&\,\ 38556(f-5e+10d-10c+5b-a)\\+&\,\ \ \ 8834(g-6f+15e-20d+15c-6b+a)\\+&\ \,\quad 751(h-7g+21f-35e+35d-21c+7b-a)\,;\\\end{aligned}}$

ou, en réduisant,