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QUESTIONS

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

trouve $p$ lettres pareilles à $P,\ q$ lettres pareilles à $Q,\ r$ lettres à $R,$ et ainsi des autres ; de sorte qu’on ait $p+q+r+\ldots =m.$ Il est connu qu’alors^[1] le nombre des arrangemens rectilignes différens dont nos $m$ lettres seront susceptibles ; ou, ce qui revient au même, le nombre des manières différentes dont elles pourront être disposées en ligne droite les unes à côté des autres, sera exprimé par la formule

${\frac {m!}{p!q!r!\ldots }}.$

5. On peut demander présentement, comme nous l’avons fait dans le premier cas, de combien d’arrangement circulaires, réellement différens, ces mêmes lettres pourront être susceptibles ; et il semblerait, au premier abord, que les raisonnemens que nous avons faits alors (2, 3) doivent conserver ici toute leur force, et qu’ainsi la formule qui répond à la question proposée doit être

${\frac {m!}{m(p!q!r!\ldots )}},$ ou ${\frac {(m-1)!}{p!q!r!\ldots }}.$

Cette formule est, en effet, celle qui résout la question, dans le cas particulier où les nombres $p,q,r,\ldots ,$ sont premiers entre eux ; c’est-à-dire, dans le cas où il ne se trouve d’autres diviseurs que l’unité qui leur soient communs à tous.

6. Mais, dans le cas contraire, c’est-à-dire, dans le cas où quelque nombre, autre que l’unité, divise à la fois tous les nombres $p,q,r,\ldots$ et par conséquent le nombre $m,$ notre raisonnement cesse d’être applicable ; et la formule se trouve tout-à-fait en défaut. Elle offre même souvent alors un préservatif contre les applications inconsidérées qu'on prétendrait en faire, en donnant, pour le nombre

1. Voyez, en particulier, la page 201 du tome II.^e de ce recueil.