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QUESTIONS

et, comme, dans ce cas, le nombre cherché doit évidemment être l’unité ; il s’ensuit que, si l’on a un nombre $m,$ tel que $m=a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots \,;\ a,b,c\ldots$ étant des nombres premiers inégaux, la suite dont le terme général sera égal à

$a^{\alpha '-1}b^{\beta '-1}c^{\gamma '-1}\ldots (a-1)(b-1)(c-1)\ldots \,;$

dans laquelle on admettra successivement pour $\alpha ',\beta ',\gamma ',\ldots$ toutes les valeurs entières, positives ou nulles qui n’excèderont pas respectivement $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ sera égale au nombre $m$ lui-même.

15. Exemple. Soit $\mathrm {D} =a^{2}b.$

Les diviseurs de $\mathrm {D}$ seront, dans ce cas, les termes du développement du produit

$(1+a+a^{2})(1+b),$

c’est-à-dire,

$1,\quad a,\quad a^{2},\quad a^{2}b.$

$b,\quad ab$

En représentant donc par $x$ le nombre cherché, on aura

${\begin{aligned}x={\frac {1}{m}}f(1)&+{\frac {a-1}{m}}f(a)+{\frac {a(a-1)}{m}}f(a^{2})+{\frac {a(a-1)(b-1)}{m}}f(a^{2}b)\\&+{\frac {b-1}{m}}f(b)+{\frac {(a-1)(b-1)}{m}}f(a^{2}b)\\\end{aligned}}$

c’est-à-dire,

${\begin{aligned}x={\frac {1}{m}}.{\frac {m!}{p!q!r!\ldots }}&+{\frac {a-1}{m}}.{\frac {\left({\frac {m}{a}}\right)!}{\left({\frac {p}{a}}\right)!\left({\frac {q}{a}}\right)!\left({\frac {r}{a}}\right)!\ldots }}\\&+{\frac {b-1}{m}}.{\frac {\left({\frac {m}{b}}\right)!}{\left({\frac {p}{b}}\right)!\left({\frac {q}{b}}\right)!\left({\frac {r}{b}}\right)!\ldots }}\\\end{aligned}}$