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TRANSFORMATION

$\operatorname {Cos} .(r,x)=a\,;$

on aura donc (1)

$a\alpha +b\beta +c\gamma =a.\qquad$(6)

Le plan qui contient $r$ et $x$ a pour équation

$cy-bz=0,$

et celui qui contient $r$ et $t$ a pour équation

$(b\gamma -c\beta )x+(c\alpha -a\gamma )y+(a\beta -b\alpha )z=0,$

d’après quoi l’on doit avoir (2)

$m=\operatorname {Cos} .\theta =\operatorname {Cos} .(rt,rx)={\tfrac {c(c\alpha -a\gamma )-b(a\beta -b\alpha )}{\sqrt {\left(b^{2}+c^{2}\right)\left\{(b\gamma -c\beta )^{2}+(c\alpha -a\gamma )^{2}+(a\beta -b\alpha )^{2}\right\}}}}$

Le numérateur de cette expression, qui revient à

$\left(b^{2}+c^{2}\right)\alpha -a(b\beta +c\gamma ),$

se réduit, en vertu des relations (3 et 6), à

$\alpha -a^{2}.$

Le second facteur sous le radical du dénominateur devient, en développant

${\begin{aligned}&(b^{2}+c^{2})\alpha ^{2}-2bc\beta \gamma \\+&(c^{2}+a^{2})\beta ^{2}-2ca\gamma \alpha \\+&(a^{2}+b^{2})\gamma ^{2}-2ab\alpha \beta \,;\\\end{aligned}}$

ou, par la relation (3),