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CADRANS

$\mathrm {AX} ={\frac {bc\operatorname {Sin} .l\operatorname {Tang} .h}{a+b\operatorname {Sin} .l\operatorname {Tang} .h}}.$

Si ensuite on désigne par $\mathrm {M}$ le milieu de $\mathrm {AB,}$ on aura

$\mathrm {MX=AM-AX} ={\tfrac {1}{2}}c-\mathrm {AX} ,$

c’est-à-dire, en substituant et réduisant

$\mathrm {MX} ={\tfrac {1}{2}}c.{\frac {a-b\operatorname {Sin} .l\operatorname {Tang} .h}{a+b\operatorname {Sin} .l\operatorname {Tang} .h}}.\qquad$(2)

Or, la transversale $\mathrm {AB}$ étant arbitraire, et les grandeurs $a,b,c$ ne se trouvant conséquemment liées entre elles que par la seule relation (1), il nous est permis de les lier encore par deux autres relations ; ou, ce qui revient au même, nous pouvons supposer $c$ constant et donné, et établir une nouvelle relation entre $a$ et $b\,;$ et c’est à ce dernier parti que nous nous arrêterons.

Or, l’inspection de la formule (2) montre que, parmi toutes les relations que nous pourrions choisir, celle que nous devons préférer est

$a=b\operatorname {Sin} .l\,;\qquad$(3)

car alors cette formule (2) devient simplement

$\mathrm {MX} ={\tfrac {1}{2}}c.{\frac {1-\operatorname {Tang} .h}{1+\operatorname {Tang} .h}},$

c’est-à-dire

$\mathrm {MX} ={\tfrac {1}{2}}c\operatorname {Tang} .(45^{\circ }-h).\qquad$(4)

D’un autre côté, en combinant entre elles les relations (1, 3) pour en éliminer $b,$ il vient