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MÉTHODE

${\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}={\frac {x-\alpha }{\sqrt {(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}}}},\qquad {\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} y}}={\frac {y-\beta }{\sqrt {(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}}}},$

il viendra

${\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {dF} }{\operatorname {d} x}}={\frac {x-\alpha }{\sqrt {(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}}}}{\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} p}}+{\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} x}},\\&{\frac {\operatorname {dF} }{\operatorname {d} y}}={\frac {y-\beta }{\sqrt {(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}}}}{\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} p}}\,;\\\end{aligned}}$

de plus, on sait que

${\frac {x-\alpha }{\sqrt {(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}}}},\qquad {\frac {y-\beta }{\sqrt {(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}}}},$

sont les cosinus respectifs des angles que fait le rayon vecteur $p$ avec les axes des $x$ et des $y$ : de sorte qu’en représentant ces cosinus par $a$ et $b,$ les équations de la normale deviendront

${\begin{aligned}&X=x+\mu a{\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} p}}+\mu {\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} x}},\\&Y=y+\mu b{\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} p}}\,;\\\end{aligned}}$

d’où l’on déduira la construction suivante :

Soit porté sur le rayon vecteur $p,$ et sur la coordonnée $x,$ à partir du point $(p,x),$ des longueurs respectivement proportionnelles à ${\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} p}}$ et ${\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} x}}\,;$ en construisant un parallélogramme sur ces longueurs, la diagonale qui joindra le sommet $(p,x)$ de ce parallélogramme au sommet opposé sera normale à la courbe.

On conçoit qu’on obtiendrait une construction semblable, en partant de l’équation $\phi (p,y)=0.$

Soient enfin deux points fixes quelconques $(\alpha ,\beta )$ et $(\alpha ',\beta ')\,;$