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DES QUADRATURES.

${\frac {1}{a}}\int \operatorname {F} a\operatorname {d} a=\Delta ^{-1}\nu +A\nu +B\Delta \nu +C\Delta ^{2}\nu +\ldots +K\,;\qquad (25)$

dont les coefficiens

$A={\tfrac {1}{2}},\ B=-{\tfrac {1}{12}},\ C={\tfrac {1}{24}},\ D=-{\tfrac {19}{720}},\ E={\tfrac {3}{160}},\ F-={\tfrac {803}{60480}},\ldots$

sont ceux de l’équation identique

$\left(2-{\tfrac {1}{2}}\omega +{\tfrac {1}{3}}\omega ^{2}-\ldots \right)^{-1}=1+A\omega +B\omega ^{2}+C\omega ^{3}+\ldots$

Il est d’ailleurs aisé de voir qu’ils sont liés entre eux par la loi suivante : $A,B,C,\ldots ,L,M,N,$ étant respectivement les $1.^{er},2.^{me},3.^{me},\ldots$$(n-2).^{me},(n-1).^{me},n.^{me},$ on a

$N={\frac {1}{n+1}}-{\tfrac {1}{2}}M-{\tfrac {1}{3}}L-\ldots -{\frac {1}{n-2}}C-{\frac {1}{n-1}}B-{\frac {1}{n}}A\,;\qquad$(26)

formule dans laquelle il ne faut avoir égard qu’aux valeurs absolues des nombres $A,B,C,\ldots ,L,M,N\,;$ en leur donnant ensuite alternativement les signes $+$ et $-.$

Faisons, comme ci-dessus $\omega =1$ ; changeons, dans (25), $a$ en $a+n$ et retranchons (25) du résultat ; nous aurons

$Z=\left(\operatorname {E} ^{n}-1\right)\left(\Delta ^{-1}+A+B\Delta +\ldots \right)\nu =\Delta ^{-1}\left(\operatorname {E} ^{n}-1\right)\left(1+A\Delta +B\Delta ^{2}+\ldots \right)\nu .$

Or, d’après le théorème des différences,

$\Delta ^{-1}\left(\operatorname {E} ^{n}-1\right)=\Delta ^{n-1}+{\frac {n}{1}}\Delta ^{n-2}+{\frac {n}{1}}{\frac {n-1}{2}}\Delta ^{n-3}+\ldots +n\,;$

donc

$Z=\left(\Delta ^{n-1}+{\frac {n}{1}}\Delta ^{n-2}+{\frac {n}{1}}{\frac {n-1}{2}}\Delta ^{n-3}+\ldots +n\right)$

$\left(1+A\Delta +B\Delta ^{2}+\ldots +M\Delta ^{n-1}+N\Delta ^{n}\right)\nu .$

En développant et rejetant toutes les différences supérieures à celles de l’ordre $n,$ on trouve une équation de la forme

$Z=\alpha \Delta ^{n}\nu +\beta \Delta ^{n-1}\nu +\gamma \Delta ^{n-2}\nu +\delta \Delta ^{n-3}\nu +\ldots ,\qquad (27)$

dans laquelle il faudra faire