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ET DES SURFACES COURBES.

$0=\left({\frac {x'^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y'^{2}}{b^{2}}}-1\right)+{\frac {2x'x}{a^{2}}}+\ldots$

$+{\frac {2y'y}{b^{2}}}+\ldots$

Parce que le point $(x',y')$ est sur la courbe, on aura

${\frac {x'^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y'^{2}}{b^{2}}}=1\,;\qquad$(5)

et l’équation de la tangente, rapportée aux axes primitifs, sera

${\frac {x'(x-x')}{a^{2}}}+{\frac {y'(y-y')}{b^{2}}}=0\,;$

ou simplement ; en vertu de la relation (5)

${\frac {x'x}{a^{2}}}+{\frac {y'y}{b^{2}}}=1.\qquad$(6)

On en conclura, pour celle de la normale par le même point

$a^{2}.{\frac {x-x'}{x'}}=b^{2}.{\frac {y-y'}{y'}}.\qquad$(7)

Nous ne disons rien du cas où il s’agirait de mener à une courbe une tangente ou une normale par un point qui lui serait étranger, attendu que ce second problème se ramène facilement au premier.

On voit, par ce qui précède, que si les équations de deux courbes qui passent par l’origine se ressemblent seulement dans les termes du premier ordre, quelque différence qu’elles puissent présenter d’ailleurs, ces courbes auront en ce point la même tangente et la même normale. Il n’est pas même nécessaire pour cela que les deux équations se ressemblent dans leurs premiers termes ; car, si