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COURBURE DES LIGNES

$\left.{\begin{aligned}0&=ax+fxy+gx^{2}+\ldots \\&+by\qquad \quad +hy^{2}+\ldots \\\end{aligned}}\right\}\quad$(8)

est l’équation d’une courbe, l’équation de sa tangente par l’origine sera

$ax+by=0\,;\qquad$(9)

de sorte que cette courbe aura la même tangente en ce point que la courbe (1), si seulement l’équation (9) a lieu en même temps que l’équation (2) ; c’est-à-dire, si l’on a seulement

${\frac {A}{a}}={\frac {B}{b}}.\qquad$(10)

Deux courbes qui ont une même tangente en un même point sont dites elles-mêmes tangente l’une à l’autre en ce point. On voit, par ce qui précède, qu’une infinité de courbes différentes peuvent avoir la même tangente et la même normale au même point.

Si l’on veut mener une tangente à la courbe (1) par le point $(x',y'),$ on écrira d’abord

${\begin{aligned}0&=A(x'+x)+F(x'+x)(y'+y)+G(x'+x)^{2}+\ldots \\&+B(y'+y)\qquad \qquad \qquad \qquad \quad +H(y'+y)^{2}+\ldots \end{aligned}}$

puis, en développant,

${\begin{array}{ll|}0=Ax'+Fx'y'+Gx'^{2}+\ldots &+A\\+By'\qquad \qquad +Hy'^{2}+\ldots &+Fy'\\&+2Gx'\\&+\ldots \\\end{array}}{\begin{array}{ll|}x&+B\\&+Fx'\\&+2Hy'\\&+\ldots \\\end{array}}{\begin{aligned}y&+\ldots \\&+\ldots \\&+\ldots \\&+\ldots \\\end{aligned}}$

on aura donc, en premier lieu, l’équation de condition,