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ET DES SURFACES COURBES.

${\frac {BC'-CB'}{bc'-cb'}}={\frac {CA'-AC'}{ca'-ac'}}={\frac {AB'-BA'}{ab'-ba'}}.\qquad$(10)

Deux courbes qui ont une même tangente en un même point sont dites elles-mêmes tangentes l’une à l’autre en ce point. On voit, par ce qui précède, qu’une infinité de courbes différentes peuvent avoir la même tangente et le même plan normal au même point.

Si l’on veut mener une tangente à la courbe (1, 1’) par le point $(x',y',z')$, on écrira d’abord

${\begin{aligned}0&=A(x'+x)+D(y'+y)(z'+z)+G(x'+x)^{2}+\ldots \\&+B(y'+y)+E(z'+z)(x'+x)+H(y'+y)^{2}+\ldots \\&+C(z'+z)+F(x'+x)(y'+y)+K(z'+z)^{2}+\ldots \\\\0&=A'(x'+x)+D'(y'+y)(z'+z)+G'(x'+x)^{2}+\ldots \\&+B'(y'+y)+E'(z'+z)(x'+x)+H'(y'+y)^{2}+\ldots \\&+C'(z'+z)+F'(x'+x)(y'+y)+K'(z'+z)^{2}+\ldots \\\end{aligned}}$

Développant et posant les équations de condition

$\left.{\begin{aligned}0&=Ax'+Dy'z'+Gx'^{2}+\ldots \\&+By'+Ez'x'+Hy'^{2}+\ldots \\&+Cz'+Fx'y'+Kz'^{2}+\ldots \\\\\end{aligned}}\right\}$(11)

$\left.{\begin{aligned}0&=A'x'+D'y'z'+G'x'^{2}+\ldots \\&+B'y'+E'z'x'+H'y'^{2}+\ldots \\&+C'z'+F'x'y'+K'z'^{2}+\ldots \\\end{aligned}}\right\}$(11′)

les équations de la tangente, rapportée aux axes primitifs, seront