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COURBURE DES LIGNES

mais ce n’est justement que pour de telles portions de la surface courbe que nous nous proposons d’en faire usage.

Lorsqu’on ne considère donc que des points de la surface très-voisins de l’origine, on peut, sans erreur sensible, négliger, dans l’équation (1), les termes de plus d’une dimension, en $x,y,z$ ; d’où il suit que, plus la portion de surface que l’on considérera, à partir de l’origine, sera petite, et plus aussi cette surface approchera de se confondre avec le plan ayant pour équation

$Ax+By+Cz=0\,;\qquad$(2)

elle se confondra donc rigoureusement à l’origine avec ce plan, qui en indiquera alors exactement la direction ; c’est donc un plan tangent à la surface courbe en ce point.

Soit une autre surface courbe quelconque, passant aussi par l’origine, dont l’équation soit

$\left.{\begin{aligned}0&=ax+dyz+gx^{2}+\ldots \\&+by+ezx+hy^{2}+\ldots \\&+cz+fxy+kz^{2}+\ldots \end{aligned}}\right\}\quad$(1′)

Cette surface coupera la première suivant une courbe plane ou à double courbure, dont la tangente à l’origine sera (§. 2) donnée par le système de l’équation (2) et de l’équation

$ax+by+cz=0.\qquad$(2)

Or, que la surface (1′) varie comme on voudra, en passant toujours par l’origine, la section qu’elle détermine sur la surface (1) variera également ; mais, des deux équations (2, 2′), il n’y aura au plus que la dernière qui variera ; d’où l’on doit conclure que si, par l’un quelconque des points d’une surface courbe, on trace, à volonté, tant de courbes qu’on voudra, sur cette surface, les