Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1818-1819, Tome 9.djvu/152

146

COURBURE DES LIGNES

la nouvelle origine, rapporté aux nouveaux axes, on le rapportera aux axes primitifs, en changeant respectivement, dans son équation, $x,y,z$ en $x-x',\ y-y',\ z-z'.$

On voit, au surplus, que, dans le développement des puissances et produits de puissances des binômes $x'+x,\ y'+y,\ z'+z,$ on peut rejeter les termes de plus d’une dimension en $x,y,z\,;$ si l’on rejette, en outre, les termes indépendans de ces variables ; en changeant respectivement, dans ce qui restera, $x,y,z$ en $x-x',$ $y-y',\ z-z',$ on aura immédiatement l’équation du plan tangent au point $(x',y',z'),$ rapporté aux axes primitifs, et de laquelle on conclura facilement celles de la normale au même point.

Appliquons ce procédé à l’ellipsoïde ayant pour équation

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.\qquad$(4)

Nous écrirons d’abord

${\frac {(x'+x)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y'+y)^{2}}{b^{2}}}+{\frac {(z'+z)^{2}}{c^{2}}}=1\,;$

puis, en développant,

$0=\left({\frac {x'^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y'^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z'^{2}}{c^{2}}}-1\right)+{\frac {2x'x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {2y'y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {2z'z^{2}}{c^{2}}}+\ldots$

Parce que le point $(x',y',z'),$ est sur la surface courbe, nous aurons d’abord l’équation de condition

${\frac {x'^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y'^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z'^{2}}{c^{2}}}=1\,;\qquad$(5)

et l’équation du plan tangent, rapporté aux axes primitifs, sera