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COURBURE DES LIGNES

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

dans de ces variables, ce qui donnera l’équation de condition ; on comparera terme à terme l’équation restante à l’équation (1) ; afin d’obtenir les valeurs de ses neuf premiers coefficiens ; on substituera enfin ces valeurs dans les formules (57, 58, 59), en changeant dans les dernières, $x,y,z$ en $x-x',\ y-y',$$z-z'.$

Si, entre les trois équations du centre de courbure pour le point $(x',y',z')$ et l’équation de condition qui exprime que ce point appartient à la surface courbe, on élimine $x',y',z',$ l’équation résultante en $x,y,z$ sera celle du lieu des centres de courbure de cette surface ou de sa développée, c’est-à-dire, de la surface à laquelle toutes ses normales sont tangentes.

Appliquons ce procédé à l’ellipsoïde donnée par l’équation

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\,;\qquad$(60)

nous aurons d’abord

${\frac {x'^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y'^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z'^{2}}{c^{2}}}=1\,;\qquad$(61)

et ensuite

${\begin{aligned}0&={\frac {2x'}{a^{2}}}x+{\frac {1}{a^{2}}}x^{2}\\\\&+{\frac {2y'}{b^{2}}}y+{\frac {1}{b^{2}}}y^{2}\\\\&+{\frac {2z'}{c^{2}}}z+{\frac {1}{c^{2}}}z^{2}\\\\\end{aligned}}$

qu’il faudra comparer à l’équation (1).

Nous aurons donc, en premier lieu