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ÉQUATION GÉNÉRALE

${\frac {x^{3}+2px^{4}+p^{2}x^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}=\left({\frac {x^{3}+px}{2}}\right)^{2}+{\frac {p^{3}}{27}}\,;$

ainsi, puisque la partie affectée de $x$ sous le radical est le quarré de la partie rationnelle, qui est elle-même égale à $-{\frac {q}{2}},$ il en résulte que le radical est égal à ${\frac {-q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}\,;$ et, comme le second cube ne diffère du premier que par le signe du radical, ce second cube sera égal à ${\frac {-q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}$.

Si l’on tire les racines cubiques de chacun des deux cubes dont il s’agit, on aura les deux équations

${\frac {x+{\sqrt {{\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {p}{3}}}}}{2}}={\sqrt[{3}]{{\frac {-q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.$

${\frac {x-{\sqrt {{\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {p}{3}}}}}{2}}={\sqrt[{3}]{{\frac {-q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\,;$

lesquelles étant ajoutées donneront

$x={\sqrt[{3}]{{\frac {-q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {-q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}$

Cette formule présente neuf combinaisons, parmi lesquelles trois seulement se rapportent à l’équation proposée. Il est facile de distinguer celles qui représentent les racines de cette équation, et quelles sont les équations auxquelles les six autres satisfont ; et pour cette raison, nous nous dispenserons d’entrer dans cette discussion.

Il y a un cas qui a beaucoup exercé les géomètres, et qu’on désigne sous le nom de cas irréductible : c’est celui où chacune des deux quantités dont il faut extraire la racine cubique est imaginaire. Lorsque cette circonstance a lieu, les trois racines sont réelles. C’est ce qu’on peut démontrer très-facilement. Désignons, en effet, par $a,b,$ respectivement, les racines cubiques des quantités qui