pas toutes réelles. Dans le premier cas, la discussion que présente le mémoire de la page 60 est lumineuse et me satisfait ; ainsi j’admets le théorème jusqu’ici.
Dans le second cas, c’est-à-dire, lorsqu’à la fois la proposée et sa dérivée ont toutes deux des racines imaginaires, la chose me semble encore problématique, pour ne pas dire plus.
1.o Quand a des racines imaginaires, généralement parlant, en a aussi et autant qu’elle ; car à des sommets imaginaires doivent répondre en général des coordonnées imaginaires[1].
2.o L’application du Théorème de Descartes à une équation suppose, comme l’on sait, que cette équation a toutes ses racines réelles ; on s’impose donc ici le travail d’induction ou de démonstration à priori qui puisse établir la correspondance entre les cas de réalité de toutes les racines de et ceux de la non réalité de tout ou partie de ces mêmes racines : c’est un travail de la première sorte que paraît avoir commencé l’auteur du mémoire déjà cité : suivons le un instant.
Au troisième degré supposons que ait deux racines imaginaires ; et admettons d’abord que ait ses deux racines réelles ; il est visible que aura ses deux racines réelles et de même signe, c’est-à-dire, toutes deux positives ou toutes deux négatives ; et par conséquent, par le théorème de Descartes ou deux variations ou deux permanences. Si, au contraire, les deux racines de l’équation sont imaginaires, celles de le seront aussi, et parce que l’équation est de degré pair, son dernier terme sera positif ; on n’aura donc, pour la succession des signes de ses termes, que les deux formes possibles
- ↑ Il ne pourrait guère y avoir d’exception que pour le cas où l’équation
ne renfermant que des puissances paires de , l’équation aurait
quelques racines imaginaires de la forme mais, en posant on ferait sortir l’équation de ce cas d’exception, et l’on en ramènerait la discussion à celle d’une équation d’un degré moitié moindre.
J. D. G.
