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LIGNES ET SURFACES

Si présentement on mène à la ligne du second ordre deux diamètres conjugués quelconques, les équations de ces diamètres seront de la forme

$x-gy=0,\qquad x-hy=0\,;\qquad$(3)

$g,h$ étant deux nombres arbitraires, dépendant des directions de ces diamètres, mais liés entre eux par la condition

$gh=k,\qquad$(4)

dans laquelle le nombre constant $k$ ne dépend uniquement que des dimensions de la ligne du second ordre, et de sa situation par rapport aux axes des coordonnées.

Si l’on prend le produit des équations (3), en ayant égard à la condition (4), on obtiendra, pour l’équation du système de deux diamètres conjugués quelconques

$x^{2}-(g+h)xy+ky^{2}=0.\qquad$(5)

Si ensuite on multiplie l’équation (2) par cette dernière, il viendra pour l’équation du système tant des diamètres conjugués que des parallèles à l’axe des $y$ menées par les $m-2$ points ou l’axe des $x$ coupe la courbe (1)

$ax^{m}+a'x^{m-1}+a''x^{m-2}+\ldots p''$

$-\left(a^{m-2}+a'x^{m-3}+a''x^{m-4}+\ldots +p''\right)\left[(g+h)xy-ky^{2}\right]=0.$(6)

Si présentement on veut savoir en quels points le système de droites exprimé par l’équation (6), coupe la courbe exprimée par l’équation (1) ; il faudra considérer ces deux équations comme celles du même problème déterminé en $x,y$. Mais, il est clair que, dans cette recherche, il sera permis de substituer à l’une ou à l’autre des équations (1, 6) une combinaison quelconque de ces deux