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LIGNES ET SURFACES

Remarque. Supposons présentement que les axes des coordonnées soient rectangulaires ; c’est-à-dire, supposons que le diamètre de la ligne du second ordre tangent à l’origine à la courbe (1) en soit un des diamètres principaux ; alors l’axe des $y$ sera une normale à cette courbe (1) et contiendra conséquemment son centre de courbure répondant à l’origine ; soit $R$ le rayon de courbure pour ce point ; il est facile de se convaincre qu’on aura

$R=-{\frac {1}{2p''}}.$^[1]$\qquad$(9)

Supposons présentement que l’on ait $m=3,$ l’équation (8) deviendra

$p'''x^{3}+(p''+q''y)x^{2}+(q'y+r'y^{2})x+(y+ry^{2}+sy^{3})=0\,;\qquad$(10)

on trouvera les intersections de la courbe proposée avec l’axe des $y$, en faisant, dans cette équation $x=0,$ ce qui donnera, en divisant par $y,$

$sy^{2}+ry+1=0\,;\qquad$(11)

de sorte qu’en désignant par $Y,Y'$ les distances de ces intersections à l’origine, on aura

${\begin{aligned}&sY\,^{2}+rY\ \,+1=0,\\&sY'^{2}+rY'+1=0\,;\\\end{aligned}}$

d’où on tirera

$s={\frac {1}{YY'}},\qquad r=-{\frac {Y+Y'}{YY'}}.\qquad$(12)

d’un autre côté l’équation (7) devient, dans la même hypothèse,

1. Voyez sur cela la page 154 du présent volume.