Dans cet état d’indigence où nous nous trouvons relativement à ce genre de fonctions, toute recherche qui les concerne semble devoir être accueillie avec quelque intérêt ; et c’est, en particulier, ce qui doit recommander aux yeux des géomètres le mémoire de M. Bret, à la page 37 de ce volume ; mémoire dans lequel, après avoir donné plus de généralité à des théorèmes qu’on ne démontre communément que pour les fractions continues dans lesquelles les numérateurs sont égaux à l’unité, il a donné, pour le développement des fonctions en fractions continues, une méthode qui lui est propre et qu’il a appliquée ensuite à la recherche de plusieurs résultats non moins curieux qu’ils sont élégants.
Ces résultats, au surplus, ainsi que beaucoup d’autres du même genre, avaient déjà été déduits par Lagrange de l’application des fractions continues à l’intégration par approximation des équations différentielles à deux variables[1]. Mais, la méthode de Lagrange, comme celle de M. Bret, peut paraître longue et laborieuse ; et ni l’une ni l’autre n’ont une marche assez uniforme et régulière pour qu’il soit permis d’asseoir solidement une induction sur les résultats qu’on en obtient.
Il nous a paru qu’on pouvait parvenir simplement à ces mêmes résultats, de manière à ne laisser aucun doute sur la loi qui les régit, et qu’on pouvait en même temps établir plusieurs théorèmes curieux sur certaines classes de fractions continues ; en développant en fraction de cette sorte la série très-remarquable dont M. de Stainville s’est occupé à la page 229 du présent volume. C’est ce que nous nous proposons de montrer ici.
Soit donc la série
- ↑ Voyez les Mémoires de l’académie de Berlin, pour 1776, page 236 ; voyez aussi le Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, de M. Lacroix, deuxième édition, tome II, pag. 427.
