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DES DÉVELOPPANTES

pans les uns des autres ; et soit $\phi$ l’angle que fait la tangente ${\rm {M_{0}M_{1}}}$ au point ${\rm {M_{0}}}$ avec la tangente ${\rm {A_{1}G}}$ au point ${\rm {A_{1}.}}$

Soient enfin $\Sigma _{0},\Sigma _{1},\Sigma _{2},\ldots$ les longueurs totales des développantes ${\rm {A_{0}A_{1},A_{1}A_{2},A_{2}A_{3},\ldots .}}$

Nous aurons d’abord, comme dans le précédent théorème,

$S_{1}=\int S_{0}\operatorname {d} \phi ,$

l’intégrale s’éyanouissant avec $\phi .$ On aurait de même

$S_{2}=\int {\overline {\rm {M_{1}A_{2}}}}.\operatorname {d} \phi \,;$

mais ${\overline {\rm {M_{1}A_{2}}}}={\rm {A_{1}A_{2}-A_{1}M_{1}}}=\Sigma _{1}S_{1}\,;$ donc

$S_{2}=\int \left(\Sigma _{1}-S_{1}\right)\operatorname {d} \phi =\Sigma _{1}\phi -\int S_{1}\operatorname {d} \phi .$

Ces valeurs de $S_{1},S_{2}$ indiquent, en général, comment on peut passer d’une développante à la suivante ; et l’on voit qu’on peut poser cette suite d’équations

${\begin{array}{ll}S_{1}=\int S_{0}\operatorname {d} \phi ,&S_{2}=\phi \Sigma _{1}-\int S_{1}\operatorname {d} \phi ,\\S_{3}=\int S_{2}\operatorname {d} \phi ,&S_{4}=\phi \Sigma _{3}-\int S_{3}\operatorname {d} \phi ,\\S_{5}=\int S_{4}\operatorname {d} \phi ,&S_{6}=\phi \Sigma _{5}-\int S_{5}\operatorname {d} \phi ,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{array}}$

Si l’on fait les substitutions, on trouvera

${\begin{array}{ll}S_{1}=\int S_{0}\operatorname {d} \phi ,&S_{2}=\phi \Sigma _{1}-\int ^{2}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{2},\\S_{3}={\frac {\phi ^{2}}{2!}}\Sigma _{1}-\int ^{3}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{3},&S_{4}=\phi \Sigma _{3}-{\frac {\phi ^{3}}{3!}}\Sigma _{1}+\int ^{4}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{4},\\S_{5}={\frac {\phi ^{2}}{2!}}\Sigma _{3}-{\frac {\phi ^{4}}{4!}}\Sigma _{1}+\int ^{5}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{5},&S_{6}=\phi \Sigma _{5}-{\frac {\phi ^{3}}{3!}}\Sigma _{3}+{\frac {\phi ^{5}}{5!}}\Sigma _{1}-\int ^{6}S_{0}\operatorname {d} \phi ^{6},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{array}}$