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DES ÉQUATIONS.

$\operatorname {d} V-(X-X'')\operatorname {d} x=R'\operatorname {d} x,\qquad X-X'+X''=-S'\,;$

ces équations deviendront

${\begin{array}{lll}2V{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}=Rp-Sq,&2V{\frac {\operatorname {d} p'}{\operatorname {d} x}}=Rp'-Sq',\\2V{\frac {\operatorname {d} q}{\operatorname {d} x}}=R'q-S'p,&2V{\frac {\operatorname {d} q'}{\operatorname {d} x}}=R'q'-S'p'.\end{array}}$

12. Au moyen de ces dernières, il est facile, par la différentiation, d’en obtenir d’autres dont chacune ne renferme qu’une seule des inconnues du problème. Si, en effet, on élimine d’abord entre les deux équations de la première colonne et la différentielle de la première $q$ et ${\frac {\operatorname {d} q}{\operatorname {d} x}},$ comme deux inconnues au premier degré, puis qu’entre ces deux mêmes équations et la différentielle de la dernière on élimine $p$ et ${\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}},$ comme deux autres inconnues au premier degré ; et si l’on opère d’une manière semblable sur les équations de la seconde colonne, il viendra

$4V^{2}S{\frac {\operatorname {d} ^{2}p}{\operatorname {d} x^{2}}}+2V\left\{2{\frac {S\operatorname {d} V-V\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}-S(R+R')\right\}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}$

$+\left\{2V{\frac {R\operatorname {d} S-S\operatorname {d} R}{\operatorname {d} x}}+S(RR'-SS')\right\}p=0,$

$4V^{2}S'{\frac {\operatorname {d} ^{2}q}{\operatorname {d} x^{2}}}+2V\left\{2{\frac {S'\operatorname {d} V-V\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x}}-S'(R+R')\right\}{\frac {\operatorname {d} q}{\operatorname {d} x}}$

$+\left\{2V{\frac {R'\operatorname {d} S'-S'\operatorname {d} R'}{\operatorname {d} x}}+S(RR'-SS')\right\}q'=0,$

$4VS{\frac {\operatorname {d} ^{2}p'}{\operatorname {d} x^{2}}}+2V\left\{2{\frac {S\operatorname {d} V-V\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}-S(R+R')\right\}{\frac {\operatorname {d} p'}{\operatorname {d} x}}$

$+\left\{2V{\frac {R\operatorname {d} S-S\operatorname {d} R}{\operatorname {d} x}}+S(RR'-SS')\right\}p'=0,$