Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1820-1821, Tome 11.djvu/187

177

DE COMBINAISON.

Si l’on veut faire quatre parts, on en pourra faire une, deux ou trois nulles. On en pourra faire une nulle d’autant de manières qu’il y en a de faire, avec $m$ choses, trois parts dont aucune ne soit nulle. On en pourra faire deux nulles d’autant de manières qu’il y en a de faire, avec $m$ choses, deux parts dont aucune ne soit nulle. Enfin, on n’en pourra faire trois nulles que d’une manière unique. En conséquence, le nombre des systèmes de quatre parts sera ici

${\frac {4^{m}-4.3^{m}+6.2^{m}-4}{1.2.3.4}}+{\frac {3^{m}-3.2^{m}+3}{1.2.3}}+{\frac {2^{m}}{2}},$

ou, d’après ce qui précède,

${\frac {4^{m}-4.3^{m}+6.2^{m}-4}{1.2.3.4}}+{\frac {3^{m}+3}{1.2.3}}={\frac {4^{m}+6.2^{m}+8}{1.2.3.4}}.$

En poursuivant le même raisonnement, on trouvera qu’ici le nombre des systèmes de cinq parts est

${\frac {5^{m}-5.4^{m}+10.3^{m}-10.2^{m}+5}{1.2.3.4.5}}+{\frac {4^{m}+6.2^{m}+8}{1.2.3.4}}={\frac {5^{m}+10.3^{m}+20.2^{m}+45}{1.2.3.4.5}}\,;$

que le nombre des systèmes de six parts est

${\frac {6^{m}+15.4^{m}+40.3^{m}+135.2^{m}+264}{1.2.3.4.5.6}}\,;$

et ainsi de suite.

Comme ces résultats se présentent sous une forme peu symétriques, il vaudra peut-être mieux se rappeler simplement, dans la pratique, que, pour obtenir la solution du problème proposé, il faut prendre la somme d’autant de termes de la suite, très-régulière ;