Mais ceci suppose qu’on ne tient aucun compte de la manière dont les parts sont disposées, or, il y a des cas où il est nécessaire d’avoir égard à leur disposition ; et tel est, en particulier, celui où il s’agirait de répartir les dix fruits entre quatre personnes ; car le système de répartition où, par exemple, telle personne aurait tout, ne pourrait être assimilé à celui où cette même personne n’aurait rien. Voyons donc comment on pourra avoir égard à cette circonstance.
S’il n’est question que d’une part unique, on ne pourra, dans ce cas, comme dans le précédent, la faire que d’une manière.
S’il s’agit de deux parts, en les faisant d’abord toutes deux effectives, comme dans le Problème I, le nombre des systèmes de répartition sera En faisant ensuite une part nulle, elle pourra être indifféremment la première ou la seconde, ce qui fournira encore deux systèmes ; de sorte que leur nombre total sera simplement
S’agit-il de faire trois parts, ou pourra d’abord les rendre toutes effectives d’un nombre de manières exprimé par
En choisissant ensuite une part déterminée pour être nulle, on pourra former les deux autres d’un nombre de manières exprimé par mais, comme la part nulle pourra occuper trois places différentes ; il en résultera encore un nombre de système de répartitions exprimé par
Enfin, il y aura encore trois systèmes possibles où deux parts seront nulles. Réunissant donc tous ces résultats, on trouvera que le nombre total des systèmes de répartition en trois parts est simplement
En poursuivant le même raisonnement, on trouvera pour le nombre des systèmes de répartition en quatre parts, pour le
