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DE DIOPTRIQUE.

en conséquence, les équations du point $\mathrm {O}$ seront, en ayant égard aux signes

$x=+{\frac {kX'}{Y'}},\qquad y=-{\frac {kh}{Y'}}.\qquad$(1)

Désignons, en outre, par $x'',y''$ les coordonnées du point $p$ de contact de la tangente $\mathrm {O} p$ menée par le point $O$ à la caustique relative au point $P\,;$ en abaissant des points $p,p'$ les perpendiculaires $pq,p'q'$ sur $\mathrm {CS} ,$ nous aurons

$\mathrm {CP:C'P'} ::\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {C} q:\mathrm {C} 'q'\,;\\&pq:p'q'\,;\end{aligned}}\right.$

c’est-à-dire,

$k:Y'::\left\{{\begin{aligned}&x'':(X'-x'),\\&y'':y'\,;\end{aligned}}\right.$

d’où, en ayant égard aux signes ;

$x'-X'=-{\frac {x''Y'}{k}},\qquad y'=-{\frac {y''Y'}{k}}\,;\qquad$(2)

il ne s’agit donc plus que de chasser de ces dernières formules $x'',y'',$ en exprimant qu’elles sont les coordonnées d’une tangente menée par le point $O$ à la caustique relative au point $\mathrm {P} .$

14. D’abord, parce que le point $p$ est sur cette caustique, on aura

$\left({\frac {mx''}{k}}\right)^{\frac {2}{3}}+\left({\frac {ny''}{k}}\right)^{\frac {2}{3}}=1,\qquad$(3)

d’où, en différentiant,