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RECHERCHES

${\frac {\operatorname {d} y''}{\operatorname {d} x''}}=-{\frac {m}{n}}{\sqrt[{3}]{\frac {ny''}{mx''}}}\,;$

en conséquence, l’équation de la tangente en $p$ sera

$y-y''+{\frac {m}{n}}(x-x''){\sqrt[{3}]{\frac {ny''}{mx''}}}=0,$

ou

$n^{2}x''(y-y'')^{3}+m^{2}y''(x-x'')^{3}=0\,;$

puis donc que cette tangente doit passer par le point $\mathrm {O} ,$ on aura

$n^{2}x''\left({\frac {kh}{Y'}}+y''\right)^{3}+m^{2}y''\left({\frac {kX'}{Y'}}-x''\right)^{3}=0,$

ou

$n^{2}x''(y''Y'+kh)^{3}+m^{2}y''(x''Y'-kX')^{3}=0.\qquad$(4)

Il faudrait donc se servir des équations (3, 4) pour chasser $x'',y''$ des équations (2) ; mais il revient au même, et il est incomparablement plus simple, de se servir de ces dernières qui donnent

$x''=-{\frac {k(x'-X')}{Y'}},\qquad y''=-{\frac {ky'}{Y'}},$

pour chasser $x'',y''$ des deux autres. Cela donne, en supprimant les accens, désormais superflus,

$\left\{{\frac {m(x-X)}{Y}}\right\}^{\frac {2}{3}}+\left\{{\frac {ny}{Y}}\right\}^{\frac {2}{3}}=1,\qquad$(I)

$n^{2}(x-X)(y-h)^{3}+m^{2}x^{3}y=0.\qquad$(II)