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RECHERCHES

$Y=k,$

l’équation de cette image sera

$k=ny\left\{1-\left[{\frac {mx}{n(y+h)}}\right]^{2}\right\}^{\frac {3}{2}},$

ou bien

$n^{4}k^{2}(y+h)^{6}=y^{2}\left\{n^{2}(y+h)^{2}-m^{2}x^{2}\right\}^{3}\,;$

ou encore

$x=\pm {\frac {n}{m}}(y+h){\sqrt {1-\left({\frac {k}{ny}}\right)^{\frac {2}{3}}}}\,;$

équation d’une courbe symétrique par rapport à la verticale qui passe par l’œil, ainsi que cela doit être.

31. En raisonnant comme nous l’avons fait (23), on trouverait facilement que cette courbe a deux asymptotes, exprimées par l’équation

$x=\pm {\frac {n}{m}}(y+h)\,;$

mais, puisque nous nous sommes convaincus que cette manière de raisonner est fautive, substituons-lui, comme nous l’avons fait alors, un raisonnement plus rigoureux. Par la différentiation, on tire de l’équation de la courbe

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {m}{n}}{\frac {\sqrt {1-\left({\frac {k}{ny}}\right)^{\frac {2}{3}}}}{1-{\frac {2y-h}{3y}}\left({\frac {k}{ny}}\right)^{\frac {2}{3}}}}\,;$