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LINÉAIRES.

de $R=0.$ Nous ayons donc très-peu gagné, et par conséquent, nous mettrons de préférence l’équation sous cette forme

${\frac {1}{X_{1}}}{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}X_{1}\right)=R-Qy,$

qui donne

$X_{1}=e^{\int P\operatorname {d} x},$

et ensuite

$y=a_{0}+a_{1}\int {\frac {\operatorname {d} x}{X_{1}}}+\int {\frac {1}{X_{1}}}\int X_{1}R\operatorname {d} x^{2}-\int {\frac {1}{X_{1}}}\int X_{1}Qy\operatorname {d} x^{2}\,;$

$a_{0}$ et $a_{1}$ étant des constantes arbitraires. En posant donc

$a_{0}+a_{1}\int {\frac {\operatorname {d} x}{X_{1}}}+\int {\frac {1}{X_{1}}}\int RX_{1}\operatorname {d} x^{2}=U,$

il viendra

$y=U-\int {\frac {1}{X_{1}}}\int X_{1}QU\operatorname {d} x^{2}+\int {\frac {1}{X_{1}}}\int X_{1}Q\int {\frac {1}{X_{1}}}\int X_{1}QU\operatorname {d} x^{4}-\ldots$

On trouve une forme qui est quelquefois plus simple en posant l’équation

${\frac {1}{X_{1}}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}.}{\operatorname {d} x^{2}}}\left(X_{1}y\right)+X_{2}y=R,$

d’où, en comparant

${\frac {\operatorname {d} X_{1}}{X_{1}\operatorname {d} x}}={\frac {P}{2}},\qquad X_{2}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}X_{1}}{X_{1}\operatorname {d} x^{2}}}=Q\,;$

ou

$X_{1}=e^{\int {\frac {P\operatorname {d} x}{2}}},\qquad X_{2}=Q-{\frac {P^{2}}{4}}-{\frac {\operatorname {d} P}{2\operatorname {d} x}}.$

En intégrant, on aura