Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1820-1821, Tome 11.djvu/299

285

LINÉAIRES.

$+{\frac {\delta ^{2}\left(\beta _{n}+\varepsilon -\alpha _{1}-n+1\right)\ldots \left(\beta _{1}+\varepsilon -\alpha _{1}\right)}{\left(\alpha _{n}+2\varepsilon -\alpha _{1}-n+1\right)\ldots 2\varepsilon \left(\alpha _{n}-\alpha _{1}+\varepsilon -n+1\right)\ldots }}x^{2\varepsilon }$

$\left.+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \right\}$

En commençant l’intégration par rapport au second membre de l’équation, on obtiendrait $n+1$ séries semblables, qui procéderaient suivant les puissances descendantes de $x^{\varepsilon }.$ On trouvera d’ailleurs facilement que l’équation revient à celle-ci :

$\left(a_{0}+B_{0}x^{\varepsilon }\right){\frac {\operatorname {d} ^{n}y}{\operatorname {d} x^{n}}}+{\frac {A_{1}+B_{1}x^{\varepsilon }}{x}}{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}y}{\operatorname {d} x^{n-1}}}$

$+{\frac {A_{2}+B_{2}x^{\varepsilon }}{x^{2}}}{\frac {\operatorname {d} ^{n-2}y}{\operatorname {d} x^{n-2}}}+\ldots +{\frac {A_{n}+B_{n}x^{\varepsilon }}{x^{n}}}y=ax^{b}\,;$

$A_{0},A_{1},A_{2},\ldots A_{n},B_{0},B_{1},B_{2},\ldots B_{n}$, étant des constantes.

Pour le cas où $n=2$, on a présenté l’intégrale de cette équation par un procédé qu’il ne serait pas difficile d’étendre à celle-ci ; mais encore, dans ce cas, la méthode directe a des avantages, comme je le ferai voir par un exemple. Soit l’équation très-simple

${\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}+{\frac {\alpha }{x}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+\beta x^{\gamma }y=\varepsilon x^{\delta },$

on aura

$y=a_{1}-{\frac {a_{0}}{1-\alpha }}x^{1-\alpha }+{\frac {\varepsilon x^{\delta +2}}{(\delta +2)(\delta +\alpha +1)}}-\beta \int x^{-\alpha }\int x^{\gamma +\alpha }y\operatorname {d} x^{2},$

d’où

$y=a_{1}\left\{1-{\frac {\beta x^{\gamma +2}}{(\gamma +2)(\gamma +\alpha +1)}}+{\frac {\beta x^{2\gamma +4}}{(\gamma +2)(2\gamma +4)(\gamma +\alpha +1)(2\gamma +\alpha +3)}}-\ldots \right\}$

$+{\frac {a_{0}x^{1-\alpha }}{1-\alpha }}\left\{1-{\frac {\beta x^{\gamma +2}}{(\gamma +2)(\gamma +3-\alpha )}}+{\frac {\beta ^{2}x^{2\gamma +4}}{(\gamma +2)(2\gamma +4)(\gamma +3-\alpha )(2\gamma +5-\alpha )}}-\ldots \right\}$