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ÉQUATIONS

$y={\frac {\alpha }{\left[1-P_{x-1}\right]^{x-1}}}+{\frac {\Sigma .Q_{x}\left[1-P_{x-1}\right]^{x-1},}{\left[1-P_{x-1}\right]^{x-1}}}$

$\alpha$ étant une fonction dont la différence $=0.$

L’équation du second ordre ne s’intègre que sous la forme d’une série infinie ; et, pour les raisons que j’ai développées plus haut, je me bornerai à un seul exemple. Il faut d’ailleurs observer que cette équation s’intègre d’une manière très-élégante par les fractions continues.

Soit donc la proposée

$\Delta ^{2}y+P_{x}\Delta y+Q_{x}y=R_{x}\,;$

on fera

${\frac {\Delta (X'\Delta y)}{X'_{1}}}+Q_{x}y=R_{x},$

ce qui donnera

${\frac {\Delta X'}{X'_{1}}}=P_{x},\quad$ou$\quad X'=\left[1-P_{x-1}\right]^{x-1}\,;$

et l’on aura

$y=\beta +\Sigma {\frac {\alpha }{X'}}+\Sigma {\frac {1}{X'}}\Sigma X'_{1}R_{x}-\Sigma {\frac {1}{X'}}\Sigma X'_{1}Q_{x}y.$

Faisant donc la parti indépendante de $y$ égale à $Z,$ on trouvera

$y=Z-\Sigma {\frac {1}{X'}}\Sigma X'_{1}Q_{x}Z+\Sigma {\frac {1}{X'}}\Sigma X'_{1}Q_{x}\Sigma {\frac {1}{X'}}\Sigma X'_{1}Q_{x}Z-\ldots$

Un exemple très-simple est

$\Delta ^{2}y=(a-1)\Delta y+cb^{x}y\,;$

on a, pour ce cas,

$y-\beta +\Sigma \alpha a^{x-1}+c\Sigma a^{x-1}\Sigma {\frac {b^{x}}{a^{x}}}y,$

et, en supposant $\alpha$ et $\beta$ constantes,