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RÉSOLUES.

$2b'(2y-b')Q+\left\{2(b'x+a'y-a'b')-(2bx+2ay-ab)\right\}P=0,$

$2a'(2x-a')P+\left\{2(b'x+a'y-a'b')-(2bx+2ay-ab)\right\}Q=0,$

d’où, en transposant ; multipliant membre à membre, et divisant ensuite par $PQ,$

$4a'b'(2x-a')(2y-b')=\left\{2(b'x+a'y-a'b')-(2bx+2ay-ab)\right\}^{2}\,;$

le lieu cherché est donc une section conique^[1].

Voyons quel est le centre de cette courbe ; on sait que ce centre est donné par les deux dérivées de l’équation de la courbe, prises successivement par rapport à $x$ et $y$ ; les deux équations du centre cherché seront donc

$2a'b'(2y-b')=(b'-b)\left\{2(b'x+a'y-a'b')-(2bx+2ay-ab)\right\},$

$2a'b'(2x-a')=(a'-a)\left\{2(b'x+a'y-a'b')-(2bx+2ay-ab)\right\}.$

Ce centre se trouvera donc aussi sur toute ligne dont l’équation sera une combinaison quelconque de ces deux-là ; il sera donc, en particulier, sur la droite dont on obtient l’équation en divisant ces deux-là membre à membre ; c’est-à-dire, sur la droite dont l’équation est

${\frac {2x-a'}{a-a'}}={\frac {2y-b'}{b-b'}}.$

Or, on voit aisément, 1.^o que cette droite passe par le milieu de la distance du point donné à l’origine ; 2.^o qu’elle passe aussi

1. M. le capitaine Poncelet a aussi démontré cette proposition, par des considérations géométriques.