par cinq points donnés ; en faisant tour à tour abstraction de deux de ces cinq points on trouverait, par ce qui précède, que le centre de la courbe doit être à la fois sur deux sections coniques ; et comme il est d’ailleurs connu que la section conique qui passe par cinq points donnés est unique ; il s’ensuit que les deux sections coniques qui devraient déterminer le centre de celle-là devraient être tangentes l’une à l’autre. On peut, en excluant ainsi, tour à tour, chacun des cinq points donnés, obtenir cinq sections coniques qui devront toutes se toucher en un même point.
Concevons présentement que de deux des sommets consécutifs du quadrilatère l’un marche en ligne droite vers l’autre jusqu’à se confondre avec lui ; il est clair que notre théorème ne cessera pas pour cela d’être vrai ; mais alors notre quadrilatère se réduira à un triangle, le côté d’une longueur nulle à une droite indéfinie, menée d’une manière quelconque, par l’un des sommets de ce triangle, et les sections coniques circonscrites à des sections coniques passant par deux points donnés et touchant une même droite en un point donné ; on a donc ce théorème :
THÉORÈME. Le lieu des centres de toutes les sections coniques qui, passant par les deux mêmes points donnés, touchent en outre une même droite donnée en un même point est une autre section conique passant par le point de contact donné, par le milieu de la droite qui joint les deux autres points donnés, par le point où celle dernière droite coupe la tangente donnée, par le point où la parallèle menée à la même droite par le point de contact rencontre la parallèle menée à la tangente par le milieu de l’intervalle entre les deux points donnés, enfin par les milieux des distances de ces deux points au point de contact. Cette section conique a son centre au milieu commun de deux droites dont l’une joint le point de contact au milieu de l’intervalle entre les deux autres, tandis que l’autre joint les milieux des distances du point de contact à ces deux-là. Elle a un système de diamètres conjugués parallèles aux droites qui joignent le point de contact aux deux
