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THÉORIE DES CONTACTS

$c\mathrm {E} .c'e'=c'\mathrm {E} .ce\,;$

donc, on aura simplement,

$R^{2}-R'^{2}=cc'(ce+c'e')\,;$

mais, à cause de $\mathrm {O} e=\mathrm {O} e',$ on a

$ce+c'e'=(\mathrm {O} e+ce)-(\mathrm {O} e'-c'e'),$

ou

$ce+c'e'=\mathrm {O} c-\mathrm {O} c'\,;$

on a d’ailleurs

$cc'=\mathrm {O} c+\mathrm {O} c'\,;$

donc enfin

$R^{2}-R'^{2}=(\mathrm {O} c+\mathrm {O} c')(\mathrm {O} c-\mathrm {O} c')={\overline {\mathrm {O} c}}^{2}-{\overline {\mathrm {O} c'}}^{2}\,;$

donc enfin (18) la perpendiculaire menée par le point ${\rm {O}}$ à la droite qui joint les centres est l’axe radical des deux cercles.

95. Voilà donc une manière fort simple de construire l’axe radical de deux cercles, lorsqu’on connaît déjà leurs polaires de similitude, soit internes, soit externes.

96. THÉORÈME. L’axe radical de deux cercles est placé, par rapport à tout cercle qui les touche tous deux, de la même manière que le sont, par rapport à ces deux cercles, leurs polaires de similitude ; savoir : leurs polaires de similitude externes, si le troisième cercle touche les deux autres de la même manière, et leurs polaires de similitude internes, si, au contraire, ce troisième cercle touche les deux autres d’une manière différente. D’où il suit que l’axe radical de deux cercles est une droite semblablement placée par rapport à tous les cercles qui les touchent tous deux ; pourvu que chaque cercle soit toujours touché de la même manière par tous ceux-là.