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DES CERCLES, DES SPHÈRES, ETC.

Démonstration. Soit ${\rm {C}}$ le centre d’un cercle touchant de la même manière (fig. 9, 10, 11, 12) et d’une manière différente (fig. 13, 14), en $t,t'$ deux autres cercles dont les centres sont $c,c',$ et dont le centre de similitude externe est ${\rm {E}}$ (fig. 9, 10, 11, 12), ou dont le centre de similitude interne est ${\rm {I}}$ (fig. 13, 14).

Les points $t,t'$ étant (9) des centres de similitude, de même dénomination (fig. 9, 10, 11, 12) et de dénomination contraire (fig. 13, 14) ; ces points doivent se trouver, avec le point ${\rm {E}}$ (fig. 9, 10, 11, 12)et avec le point ${\rm {I}}$ (fig. 13, 14) sur une même ligne droite, qui n’est autre (13) que l’axe de similitude externe (fig. 10, 11, 12) ou l’un des axes de similitude internes (fig. 9, 13, 14) de nos trois cercles ; et qui doit conséquemment (13) être semblablement placée par rapport à ces trois cercles ; donc, le pôle, de cette droite, par rapport au cercle touchant, doit être placé, à l’égard de ce cercle, de la même manière que le sont les pôles $p,p'$ de la même droite, par rapport aux cercles touchés, relativement à ces derniers. D’un autre côté, le pôle ${\rm {P}}$ est (20) un point de l’axe radical des deux cercles touchés ; et les points $p,p'$ sont respectivement (7) des points des polaires de similitude de ces deux cercles. Or, lorsque, par des points homologues de plusieurs figures semblables, on mène des droites qui font des angles égaux avec des droites homologues de ces figures, les droites, ainsi menées sont elles-mêmes homologues ; puis donc que l’axe radical et les deux polaires, comme droites parallèles, font des angles égaux avec la droite $tt',$ homologue à la fois par rapport à nos trois cercles, et qu’ils passent respectivement par les points homologues $\mathrm {P} ,p,p',$ il s’ensuit que l’axe radical des deux cercles touchés est situé, par rapport au cercle touchant, de la même manière que le sont, par rapport aux deux autres, leurs polaires de similitude respectives.

97. Nous appellerons à l’avenir pôle de similitude d’un cercle, dans le système de trois cercles, le pôle de l’un quelconque des de similitude de ces trois cercles, pris par rapport à ce cercle.