pourra concevoir deux sphères dont l’une touche extérieurement trois des sphères données et enveloppe la quatrième, tandis que l’autre, au contraire, enveloppera les trois premières et touchera la quatrième extérieurement ; mais ici chaque cas pourra arriver de quatre manières différentes ; ce qui en fera huit, dans chacun desquels trois sphères seront touchées de la même manière, et la quatrième d’une manière différente. 3.o Enfin, on pourra encore concevoir une sphère qui touche extérieurement deux quelconques des quatre sphères données et enveloppe les deux autres ; et six sphères pourront être dans ce cas, où deux des sphères données seront touchées d’une même manière, et les deux autres d’une manière différente de celle-là. On aura donc, en effet, seize sphères tangentes à la fois aux quatre sphères données.
Mais il faut remarquer que ce nombre de seize pourrait sa trouver réduit, dans certains cas, d’après la grandeur et la situation respective des sphères données. Il pourrait même se faire qu’aucune sphère ne pût les toucher toutes quatre ; et c’est, par exemple, ce qui arriverait si, leurs rayons étant tous inégaux, elles se trouvaient, de la plus petite à la plus grande, intérieures les unes aux autres.
126. THÉORÈME. Le centre radical de quatre sphères est situé par rapport à une cinquième sphère, qui les touche toutes quatre, de la même manière que le sont, par rapport à ces sphères, leurs pôles de similitude respectifs, savoir ; les pôles relatifs au plan de similitude externe, si les quatre sphères sont touchées de la même manière par la cinquième ; les pôles relatifs à l’un des plans de similitude mixtes, si trois de ces sphères sont touchées de la même manière, et la quatrième d’une manière différente par la cinquième ; et enfin les pôles relatifs à l’un des plans de similitude internes, si deux des sphères sont touchées d’une même manière, et les deux autres d’une manière différente par la cinquième ; pourvu que dans le second cas on choisisse le plan de similitude qui contient l’axe de similitude externe des trois sphères
