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INTÉGRALES DÉFINIES.

tradiction qui se présente ici, à l’aide d’une distinction entre l’intégrale arithmétique et l’intégrale analitique.

Imaginons, pour un instant, l’existence d’une fonction finie de $x$ qui, étant différentiée, donne ${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {Log} .x}},$ et soit $\operatorname {F} (x)$ cette fonction ; alors, l’intégrale que j’appelle analitique sera donnée par l’équation

$\int {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {Log} .x}}=\operatorname {F} (x)-\operatorname {F} (0)\,;$

celle-ci sera toujours imaginaire, lorsqu’on donnera à $x$ une valeur plus grande que l’unité, ainsi que nous le ferons voir.

Maintenant, si l’on construit sur le même axe et avec la même origine, 1.^o la courbe ayant pour ordonnée

$y={\frac {1}{\operatorname {Log} .x'}},$ depuis $x'=0$ jusqu’à $x'=1\,;$

2.^o la courbe ayant pour ordonnée

$y={\frac {1}{\operatorname {Log} .(1+x)}},$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=\infty \,;$

j’entends par intégrale arithmétique de ${\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {Log} .x'}}$ une fonction de $x$ propre à donner la mesure de l’aire terminée par l’une ou l’autre de ces courbes ; ou bien la mesure de la différence des aires formées par une portion quelconque de la seconde courbe et la totalité de la première. Ainsi, en désignant par $\psi (x')$ la fonction de l’abscisse qui donne l’aire négative terminée par la première courbe, on aura

$\int {\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {Log} .x'}}=\psi (x'),$

pour l’intégrale arithmétique de ${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {Log} .x}},$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=1\,;$