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DÉFINIES.

valeur de $x$ positive et moindre que l’unité ; il augmente toujours dans le même sens, à mesure que $x$ approche de l’unité, et finit par devenir infiniment grand et négatif, lorsque $x=1.$ À ce point, l’équation (3) donne

$\int {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {\operatorname {Log} } .x}}=C+\operatorname {\operatorname {Log} } .0.$

Lorsque $x$ surpasse l’unité, le terme $\operatorname {Log} .(1-x)$ est absolument imaginaire, il est même indéterminé, eu égard à la multiplicité des valeurs de $\operatorname {Log} .(-1)$ ; mais avant de tirer de là la conséquence que le second membre de l’équation (3) est effectivement imaginaire, il faut démontrer que la série affectée des coefficiens $B_{1},B_{2},B_{3},\ldots$ ne peut pas être elle-même le développement d’une fonction qui devienne imaginaire lorsqu’on a $x>1$ ; car autrement on pourrait objecter qu’il y aura destruction entre les parties imaginaires.

À cet effet, remarquons que, si dans l’équation (3), on remplace $\operatorname {Log} .(x-1)$ par $\int -{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {Log} .(1-x)}},$ on obtient

$\int \operatorname {d} x\left\{{\frac {1}{1-x}}+{\frac {1}{\operatorname {Log} .x}}\right\}=C+B_{1}(1-x)+{\frac {1}{2}}B_{2}(1-x)^{2}+\ldots$(4)

Or, il est facile de voir que la valeur de cette série infinie est toujours assignable par une quantité réelle, en appliquant convenablement la méthode des quadratures à l’intégrale qui forme le premier membre de l’équation (4), et dont les élémens ne deviennent jamais infinis ; car, en suivant la marche de la courbe dont l’équation est

$y={\frac {1}{1-x}}+{\frac {1}{\operatorname {Log} .x}},$