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INTÉGRALES

il est visible que ces ordonnées vont en décroissant, depuis $x=0,$ et que l’on doit prendre $y=0$ lorsque $x=1,$ puisque la loi de continuité exige que l’on prenne à ce point $y={\frac {1}{0}}-{\frac {1}{0}}.$ Au reste, cette courbe est tangente à l’axe lorsque $x=1\,;$ car alors ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=0\,;$ et l’équation (4) démontre que l’on a

$\int _{0}^{1}\operatorname {d} x\left\{{\frac {1}{1-x}}+{\frac {1}{\operatorname {Log} .x}}\right\}=C,$

pour l’expression de sa surface depuis $x=0$ jusqu’à $x=1,$ ce qui est connu depuis long-temps.

Il me paraît donc incontestablement prouvé par là que le développement de l’intégrale analitique $\operatorname {F} (x)+\operatorname {F} (0)$ acquiert toujours une valeur imaginaire, lorsque $x$ est plus grand que l’unité ; et, par la nature même du développement des fonctions, on doit en conclure que cette propriété est inhérente à la fonction même $\operatorname {F} (x)-\operatorname {F} (0)$ supposée exprimée explicitement sous forme finie.

Il suit de là que la série (3) n’est propre à fournir l’intégrale arithmétique de ${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {Log} .x}}$ que depuis $x=0$ jusqu’à $x=1\,;$ de sorte que, conformément aux notations adoptées ci-dessus (I), on a

$\int {\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {Log} .x'}}=\psi (x')=C+\operatorname {Log} .(1-x')+B_{1}(1-x')+{\frac {1}{2}}B_{2}(1-x')^{2}+\ldots$

$\psi (1)=C+\operatorname {Log} .(0).$

III. Pour avoir l’intégrale arithmétique de ${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {Log} .(1+x)}},$ depuis $x=0,$ remarquons que, d’après la formule (2), l’on a

$\int {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {Log} .(1+x)}}=\int \operatorname {d} x\left({\frac {1}{x}}-B_{1}+B_{2}x-B_{3}x^{2}+B_{4}x^{3}-\ldots \right),$

ou bien