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DÉFINIES.

$x=e^{\operatorname {Log} .x}=1+{\frac {\operatorname {Log} .x}{1}}+{\frac {(\operatorname {Log} .x)^{2}}{1.2}}+{\frac {(\operatorname {Log} .x)^{3}}{1.2.3}}+\ldots \quad$(8)

alors, en intégrant, on a

$\int {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {Log} .x}}={\rm {Const}}.+\operatorname {Log} .(\operatorname {Log} .x)+\operatorname {Log} .x+{\frac {1}{2}}{\frac {(\operatorname {Log} .x)^{2}}{1.2}}+\ldots$

En partant de cette dernière série, tout ce qui était auparavant fort clair devient tout-à-fait obscur. Afin donc d’établir ici la clarté convenable, il faut d’abord remarquer que, au lieu de prendre

$\int {\frac {\operatorname {d} .\operatorname {Log} .x}{\operatorname {Log} .x}}=\operatorname {Log} .(+\operatorname {Log} .x),$

rien n’empêche d’écrire

$\int {\frac {-\operatorname {d} .\operatorname {Log} .x}{-\operatorname {Log} .x}}=\operatorname {Log} .(-\operatorname {Log} .x),$

Ensuite, il faut considérer la série (8) comme un véritable développement de l’une ou de l’autre des deux séries désignées précédemment par (5) et (6), et conclure de là la valeur de la constante arbitraire. Or, en substituant au lieu de $\operatorname {Log} .x$

$\operatorname {Log} .\left[1-(1-x)\right]=-\left[(1-x)+{\frac {1}{2}}(1-x)^{2}+{\frac {1}{3}}(1-x)^{3}+{\frac {1}{4}}(1-x)^{4}+\ldots \right],$

on conçoit la possibilité de transformer le second membre de l’équation (8) de manière que l’on ait

$\int {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {Log} .x}}={\rm {Const}}.+\operatorname {Log} .\left\{\mp \left[1-(1-x)\right]\right\}+M(1-x)+M'(1-x)^{2}+\ldots \,;$

mais on a