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INTÉGRALES

$-\operatorname {Log} .\left[1-(1-x)\right]=\operatorname {Log} .(1-x)+\operatorname {Log} .\left[1+{\frac {1}{2}}(1-x)+{\frac {1}{3}}(1-x)^{2}+\ldots \right],$

$+\operatorname {Log} .\left[1-(1-x)\right]=\operatorname {Log} .(x-1)+\operatorname {Log} .\left[1+{\frac {1}{2}}(1-x)+{\frac {1}{3}}(1-x)^{2}+\ldots \right]\,;$

donc, en imaginant développée, suivant les puissances de $1-x$ la seconde partie de ces expressions, on formera enfin, ou

$\int {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {Log} .x}}=\mathrm {Const} .+\operatorname {Log} .(1-x)+N(1-x)+N'(1-x)^{2}+\ldots$

ou bien

$\int {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {Log} .x}}=\mathrm {Const} .+\operatorname {Log} .(x-1)+N(1-x)+N'(1-x)^{2}+\ldots$

Ces deux séries devant être identiques avec l’une ou l’autre des séries (5) et (6), il faut en conclure que la constante est la même dans ces deux équations, et que sa valeur est précisément égale à celle du nombre désigné plus haut par $C.$ Et, comme l’équation (8) fournit ces dernières par un calcul qui ne peut, en aucune sorte, modifier la constante arbitraire primitivement introduite, il faut en conclure, en outre que, dans cette même équation, on a $Const.=C,$ lorsque l’intégrale doit être nulle avec $x=0.$ D’après cela, il est hors de doute que, en posant

$\int {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {Log} .x}}=C+\operatorname {Log} .(\mp \operatorname {Log} .x)+\operatorname {Log} .x+{\frac {1}{2}}{\frac {(\operatorname {Log} .x)^{2}}{1.2}}+{\frac {1}{3}}{\frac {(\operatorname {Log} .x)^{3}}{1.2.3}}+\ldots$ (9)

on a une véritable transformation de l’équation désignée par (7), où le signe ambigu doit être pris de manière que $\operatorname {Log} .(\mp \operatorname {Log} .x)$ soit toujours une quantité réelle. Il serait sans doute plus satisfaisant de parvenir à ce même résultat en transformant directement la série qui constitue le second membre de l’équation (7) ; mais cela