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DIAMÈTRES

${\begin{array}{lr}\operatorname {Sin} .\alpha ={\frac {\sqrt {(x'y''-x''y')^{2}+(y'z''-y''z')^{2}+(z'x''-z''x')^{2}}}{b'c'}},&(7)\\\\\operatorname {Sin} .\beta ={\frac {\sqrt {(x''y-xy'')^{2}+(y''z-yz'')^{2}+(z''x-zx'')^{2}}}{c'a'}},&(8)\\\\\operatorname {Sin} .\gamma ={\frac {\sqrt {(xy'-x'y)^{2}+(yz'-y'z)^{2}+(zx'-z'x)^{2}}}{a'b'}},&(9)\\\\\end{array}}$

${\begin{array}{lr}\operatorname {Cos} .\alpha ={\frac {x'x''+y'y''+z'z''}{b'c'}},&(10)\\\\\operatorname {Cos} .\beta ={\frac {x''x+y''y+z''z}{c'a'}},&(11)\\\\\operatorname {Cos} .\gamma ={\frac {xx'+yy'+zz'}{a'b'}},&(12)\\\\\end{array}}$

Si l’on veut que $2a',2b',2c'$ forment un système de diamètres conjugués, il sera nécessaire et suffisant pour cela que le plan diamétral parallèle au plan tangent en chacun des trois points $(x,y,z),\ (x',y',z'),\ (x'',y'',z''),$ contienne les deux autres points ; or, les équations des trois plans diamétraux sont

${\begin{array}{lr}\left(\ {\frac {x}{a}}\ \right)\left(\ {\frac {x'}{a}}\ \right)+\left(\ {\frac {y}{b}}\ \right)\left({\frac {y'}{b}}\ \right)+\left({\frac {z}{c}}\ \right)\left({\frac {z'}{c}}\ \right)=1,&(13)\\\\\left(\,{\frac {x'}{a}}\right)\left(\,{\frac {x''}{a}}\right)+\left(\,{\frac {y'}{b}}\right)\left({\frac {y''}{b}}\right)+\left({\frac {z'}{c}}\right)\left({\frac {z''}{c}}\right)=1,&(14)\\\\\left(\,{\frac {x''}{a}}\right)\left(\ {\frac {x}{a}}\ \right)+\left(\,{\frac {y''}{b}}\right)\left(\ {\frac {y}{b}}\ \right)+\left(\,{\frac {z''}{c}}\right)\left(\ {\frac {z}{c}}\ \right)=1.&(15)\end{array}}$

Si donc l’on se donne arbitrairement, sur l’ellipsoïde, le point $(x,y,z),$ l’on n’aura, pour déterminer les six coordonnées $x',y',z',x'',y'',z''$ des deux autres que les cinq équations (2, 3, 13, 14, 15) ; d’où l’on voit que, tandis qu’à chaque diamètre de l’ellipse, il en répond un autre qui lui est conjugué, il arrive, au contraire, qu’à chaque