THÉORÈME III. Il y a toujours une infinité de triangles, soit inscrits, soit circonscrits à une même ellipse, tous équivalens entre eux, tels que le centre de gravité de leur surface coïncide avec le centre de l’ellipse. Les inscrits sont maximums et les circonscrits minimums, entre tous les triangles inscrits et circonscrits à cette même ellipse.
Démonstration. Soit encore projetée orthogonalement l’ellipse, de telle sorte que sa projection soit un cercle ; le centre de ce cercle sera la projection de son centre ; et la projection de tout triangle inscrit ou circonscrit à l’ellipse sera un triangle inscrit ou circonscrit au cercle, en outre, le rapport des aires de deux triangles inscrits ou circonscrits à l’ellipse sera le même que celui des aires de leurs projections ; enfin, la projection du centre de gravité de l’aire de chacun de ces triangles sera le centre de gravité de l’aire de sa projection.
Cela posé, soient inscrits ou circonscrits au cercle, projection de l’ellipse, tant de triangles équilatéraux qu’on voudra, ils seront tous égaux, et auront tous pour centre commun de gravité le centre même de ce cercle ; les triangles inscrits ou circonscrits à l’ellipse dont ils seront la projection seront donc tous équivalens et auront aussi leur centre commun de gravité au centre même de cette ellipse ; ce qui démontre déjà la première partie du théorème. En outre, comme il est connu et d’ailleurs facile de démontrer que le triangle équilatéral est à la fois le plus grand de tous les triangles inscrits et le plus petit de tous les triangles circonscrits à un même cercle ; il s’ensuit que nos triangles inscrits et circonscrits à l’ellipse, dont ceux-ci seront les projections, seront les premiers maximums et les derniers minimums, entre tous les triangles inscrits ou circonscrits à la même courbe.
Corollaire. Il résulte de là que, parmi toutes les ellipses circonscrites et inscrites à un même triangle, celles dont le centre coïncide avec le centre de gravité de l’aire du triangle
