Démonstration. 1.o Soit pris pour l’un des sommets d’un tétraèdre inscrit à l’ellipsoïde un quelconque des points, de celle surface. Soit déterminé le plan de la face opposée de telle sorte que, coupant le diamètre qui part de ce sommet aux deux tiers de sa longueur, il soit parallèle au plan, conjugué à ce diamètre. Soit inscrit à la section elliptique déterminée par ce plan dans l’ellipsoïde un triangle tel que le centre de gravité de sa surface coïncide avec le centre de l’ellipse ; ce qui se pourra (Théorème III) d’une infinité de manières différentes ; en considérant ce triangle comme la face opposée du tétraèdre, il est visible que le centre de l’ellipsoïde se trouvera aux trois quarts de la droite menée d’un sommet de ce tétraèdre au centre de gravité de l’aire de la face opposée ; c’est-à-dire, au centre de gravité même du volume du tétraèdre ; et comme, dans cette construction, l’un des sommets est arbitraire, et qu’en outre le triangle qui forme la face opposée peut être construit d’une infinité de manières différentes ; il s’ensuit qu’en effet il existe, une infinité de tétraèdres inscrits ; tels que le centre de gravité de leur volume coïncide avec le centre de l’ellipsoïde.
2.o Il est facile de se convaincre, en second lieu, que tous ces tétraèdres sont équivalens. En effet, si l’on en considère deux quelconques, ils auront ou n’auront pas un sommet commun. Dans le premier cas, leurs bases seront deux triangles inscrits à une même ellipse, ayant pour centre commun de gravité le centre-même de cette courbe ; ces triangles seront donc équivalens (Théor. III) ; les deux tétraèdres auront donc même hauteur et bases équivalentes, et par conséquent ils seront eux-mêmes équivalens.
Si les deux tétraèdres n’ont aucun sommet commun, ils n’auront pas non plus deux faces situées dans un même plan, et conséquemment les plans des faces opposées à deux sommets quelconques se couperont ; les sections elliptiques déterminées par ces plans auront donc deux points communs ; on pourra donc prendre l’un de ces points pour sommet commun de deux triangles inscrits à ces ellipses de telle sorte que leurs centres de gravité respectifs coïncident avec
